Bayes (Hierarcical Bayesian model)

1. JOHDANTO

1.1 BAYESMENETELMÄ

Bayes menetelmä perustuu bayesin sääntöön. Seuraavat kaavat löytyvät kirjasta Bayesian Data Analysis second edition sivuilta 7-8.

Bayesin sääntö on muotoa.

p(θ,y) = p(θ)p(y|θ)

Tässä p(θ) on priori jakauma ja p(y|θ) on datasta saatu jakauma. Ehdollistamalla θ:taa y:llä, joka on tunnettu, päästään muotoon.

p(θ|y) = p(θ)p(y|θ) / p(y)

Näin ehdollistamalla saadaan p(θ|y), joka on siis selkokielellä prioritodennäköisyys ehdollistettuna dataan. Tätä kutsutaan posterioritiheydeksi. Näillä kaavoilla saadaan siis tarkennettua ennakko-oletuksia datan tiheysfunktiosta (priorijakauma) käyttäen dataa itseään hyväksi. Lopputuloksena on siis päivitetty tiheysfunktio jota kutsutaan posterioritiheydeksi.

Muistisääntö:
Posteriorijakauma ~ priorijakauma x datasta estimoitu jakauma

1.2 HIERARKINEN BAYES

Hierarkisen bayesin idea on helpoin ymmärtää konkreettisen esimerkin kautta. Meidän tapauksessa havaitaan pitoisuuksia eri alueittain, joiden voidaan olettaa olevan alueittain samankaltaisia. Oletetaan, että pitoisuudet alueittain ovat otoksia alueiden yhteisestä pitoisuus jakaumasta. Näin ollen voimme käyttää havaittuja pitoisuuksia yli alueiden estimoitaessa tietyn alueen pitoisuuksia. Tämä tapahtuu ehdollistamalla havaittavissa olevia arvoja tiettyihin parametreihin. Näille parametreille oletetaan todennäköisyydet uusien parametrien avulla, joita kutsutaan hyperparametreiksi.

Kirjassa Bayesian Data Analysis second edition sivuilla 117-121 löytyy kattava selvennys ideasta ja sivulla 119 on kuva hierarkisesta mallista.

Käyttötarkoitus meillä on, että pyritään löytämään keinoja mallintaa tilastollisin keinoin pitoisuuksia kaloista. Tavoitteena saada aikaan malli, jonka avulla pienestäkin datasta saataisiin suhteellisen pitävä arvio koko alueen kalapopulaatiolle.

2. MENETELMÄT JA AINEISTOT

2.1 MENETELMÄT

Käytettävä menetelmä on hierarkkinen bayes. Teoria kirjasta Bayesian data analysis second edition. Työkaluna WinBUGS ja R.

http://www.mrc-bsu.cam.ac.uk/bugs/

Tästä osoitteesta voi hakea päivityksen ja lisenssin. Päivitysohjeet ja lisenssiohjeet kattavat, eli tässä ei pitäisi tulla ongelmia. Tekstin vain kopioi WinBUGS uuteen tiedostoon ja tools valikosta decode kuten ohjeissa mainitaan .

Minkä nimisiä ovat muuttujat mallissa, taulukko (muuttujan nimi ja parametrit)
Mallin graafinen kuva (vaikka sama kuva kuin WinBUGS:ssa) muuttujien vuorovaikutussuhteista

Taulukko1. Mallin muuttujien nimet ja parametrit